|||||||

Podsumowanie i recenzja Jak się nie mylić | Jordan Ellenberg

Potęga myślenia matematycznego

Animowane streszczenie książki Jak się nie mylić

Życie staje się pracowite. Ma Jak się nie mylić był na twojej liście lektur od jakiegoś czasu? Poznaj kluczowe spostrzeżenia już teraz.

To dopiero początek Jak się nie mylić streszczenie. Jeśli nie masz jeszcze popularnej książki Jordana Ellenberga na temat nauki i myślenia matematycznego, zamów go tutaj lub pobierz audiobook za darmo na Amazon, aby poznać soczyste szczegóły.

Wstęp

Czy nie chciałabyś nigdy się mylić? Nie jesteś sam i trudno się temu dziwić. W naszej pracy, związkach, a nawet naszych hobby, uczymy się od najmłodszych lat, że bycie w błędzie jest błędem. Ciągłe poprawne myślenie to koncepcja, która wydaje się prawie niemożliwa, prawda? Nieprawda (o ironio!). 

Jak się nie mylić Jordan Ellenberg omawia sposoby, dzięki którym możemy uprościć życie, myśląc matematycznie.

Książka nurkuje w świat matematyki i bada jej zastosowania w życiu codziennym. Przyglądając się prostym i złożonym decyzjom, Ellenberg ujawnia nasze błędne przekonania, które prowadzą do powszechnych błędów w naszym myśleniu.

Posłuchaj streszczenia audiobooka

O Jordan Ellenberg 

Jordan Ellenberg jest matematykiem i autorem. Jest profesorem na Uniwersytecie Wisconsin-Madison i napisał kilka książek na temat matematyki i jej zastosowań w różnych dziedzinach. Otrzymał doktorat z matematyki na Uniwersytecie Harvarda w 1998 roku i pisał dla takich publikacji jak np. The New York Times, The Washington Postoraz Przewodowy.

Jak się nie mylić to popularna książka, która bada sposoby, w jakie myślenie matematyczne może pomóc nam zrozumieć i rozwiązać codzienne problemy.

StoryShot #1: Myśl w sposób nieliniowy

Myślenie nieliniowe oznacza logiczne myślenie o tym, co możesz, a czego nie możesz kontrolować.

Rozważ następujące stwierdzenie: "To, gdzie powinieneś iść, zależy od tego, gdzie jesteś". Ten nieliniowy sposób myślenia pomaga Ci rozwinąć umiejętność krytycznego myślenia i być lepiej przygotowanym do unikania błędów. Wyobraź sobie siebie w samochodzie na skrzyżowaniu. Kiedy światło zmienia się na zielone, przejeżdżasz przez drogę bezpośrednio przed sobą, a nie po przekątnej na przeciwną stronę. To jest myślenie liniowe.

Myślenie w sposób nieliniowy daje nam wolność dokonywania wyborów i posuwania się naprzód z naszym życiem. Skłania też do zadawania większej ilości pytań, co prowadzi do większej ilości odpowiedzi. Pozwala nam to uznać zmiany w naszym życiu, nawet jeśli nie mamy nad nimi kontroli.

Regresja liniowa jest techniką statystyczną, która szuka liniowej zależności pomiędzy dwoma lub więcej zmiennymi. Na przykład, istnieje statystyka, która pokazuje, że za każdy dodatkowy $10,000 ktoś zarabia, jest 3% bardziej prawdopodobne, aby głosować na Republikanów. Regresja liniowa może pomóc zrozumieć, jak różne czynniki wpływają na wynik i dokonać przewidywań na podstawie nowych danych.

Jednak, aby nie dojść do fałszywych wniosków, musimy mieć świadomość, że regresja liniowa nie może być stosowana do każdego zestawu danych i, jeśli jest nadużywana, daje mylące wyniki.

StoryShot #2: Zrozum, że matematyka jest częścią wszystkiego, co robisz

Twoi nauczyciele nie kłamali, kiedy mówili, że będziesz używać matematyki codziennie. I prawdopodobnie nawet nie jesteś świadomy, kiedy i jak go używasz. Obliczanie długości dojazdu do pracy lub budżetu na nocne wyjście, a nawet czasu picia kawy z prasy francuskiej, wymaga podstawowej matematyki.

Mając to na uwadze, bycie w porządku stale jest możliwe. Przynajmniej teoretycznie. Jeśli matematyka i jej stałe reguły leżą u podstaw wszystkiego, co robimy, to postępowanie zgodnie z regułami matematyki powinno zawsze prowadzić do prawidłowego wyniku. Sugeruje to, że można uniknąć bycia w błędzie, jeśli krok po kroku przestrzega się tych reguł. Ta koncepcja nie jest naiwna i daje poczucie komfortu w swojej prostocie.

Problem polega na tym, że ludzie mają tendencję do zgadywania i szacowania, zamiast przyjrzeć się zimnym, twardym faktom. W ten sposób dochodzi do błędów i dlatego ludzie czasami się mylą.

Jeśli upraszczamy problem, łatwiej jest znaleźć odpowiedź. Jeśli weźmiesz duży problem w swoim życiu i rozbijesz go na części, możesz znaleźć rozwiązanie prostej wersji, która może doprowadzić cię do odpowiedzi na większy problem.

Matematyka jest potężnym narzędziem w sercu prawie wszystkiego, co robimy. Ponieważ matematyka jest na pierwszym miejscu w naszym życiu, ważne jest, aby poprawić nasze umiejętności krytycznego rozumowania.

Dzięki temu masz szansę częściej mieć rację niż się mylić. Poprzez podstawowe zastosowanie prostej matematyki, dojdziesz do bardziej dokładnych wniosków. I możesz zwiększyć swoje szanse na bycie konsekwentnie poprawnym we wszystkim, co robisz.

StoryShot #3: Matematyka może pomóc Ci wygrać na loterii

Wartość oczekiwana" to średnia z wartości, jakie zmienna losowa ma w wielu próbach. Na przykład, opisuje ona prawdopodobieństwo wygranej lub utraty pieniędzy w długim okresie czasu. Jeśli miałbyś odwiedzić kasyno i zagrać w ruletkę, mógłbyś obliczyć swoją wartość oczekiwaną, aby podjąć decyzję.

Rozważ prawdopodobieństwo wygranej na loterii i wartość oczekiwaną losów loteryjnych. Ellenberg opowiada historię o tym, jak studenci MIT zdołali "wygrać" na loterii za każdym razem w swoim mieście i powraca do prawa wielkich liczb (LLN). Studenci zaczęli analizować znane gry loteryjne, takie jak Powerball i MegaMillions, ale wkrótce zaintrygowała ich gra Cash WinFall. Gra została zaprojektowana tak, że gdy jackpot osiągnął $2 mln bez zwycięzcy, "stoczyłby się" i został rozdzielony między graczy, którzy dopasowali mniej liczb. Studenci MIT używane oprogramowanie komputerowe do analizy danych historycznych i przewidzieć, kiedy roll downs wystąpi. Wykorzystali wadę w projekcie gry, kupując tysiące losów w czasie "roll down". Ostatecznie, ich schemat został ujawniony, a gra została zawieszona.

Ryzyko można określić ilościowo, ale niepewności nie. Na przykład, jeśli urna zawiera 90 kul, z których 30 jest czerwonych, a reszta żółtych i czarnych, ryzyko niewyciągnięcia czerwonej kuli wynosi 2/3. Nie da się jednak określić ilościowo szansy wyciągnięcia kuli czarnej.


StoryShot #4: Matematyka może nam pomóc w podejmowaniu lepszych decyzji

Jednym z kluczowych pojęć eksplorowanych w książce jest użyteczność. Jest to miara zadowolenia lub szczęścia, jakie czerpiemy z danego działania lub decyzji.

Czy kiedykolwiek rozważałeś mierzenie swojej użyteczności w standardowych jednostkach, znanych jako utils? Wyobraź sobie, że godzinę czasu spędzonego w domu oceniasz jako jeden util. W takim przypadku przybycie na dwie godziny przed lotem kosztowałoby Cię dwa utile, podczas gdy przybycie godzinę wcześniej kosztowałoby tylko jeden util. Łatwo zauważyć, że przegapienie lotu jest znacznie gorsze niż zmarnowanie godziny czasu. Wyceniając swój czas w utilach, będziesz miał lepsze zrozumienie prawdziwych kosztów swoich decyzji.

Użyteczność oczekiwana jest miarą średniej użyteczności, jaką przyniesie działanie lub decyzja, jeśli zostanie wielokrotnie powtórzona. Użyteczność i wartość oczekiwana to oba sposoby oceny wyborów w przypadku niepewności.

Ellenberg wykorzystuje krzywą Laffera jako przykład tego, jak myślenie matematyczne może pomóc nam uniknąć błędu w złożonych kwestiach. Argumentuje, że musimy używać matematyki do badania problemów świata rzeczywistego z większym rygorem i niuansami. 

Krzywa Laffera to graficzne przedstawienie zależności między stawkami podatkowymi a dochodami państwa. Od prawie 40 lat odgrywa ona znaczącą rolę w republikańskiej teorii ekonomii. Krzywa Laffera reprezentuje ideę, że wzrost podatków niekoniecznie skutkuje wzrostem dochodów rządowych. Krzywa sugeruje, że kiedy stopa podatkowa jest bliska zeru, podniesienie podatków zwiększa dochody rządu, ale kiedy stopa jest bliska 100%, podniesienie podatków zmniejsza je. 

W dzisiejszych czasach większość renomowanych ekonomistów uważa, że poziom opodatkowania znajduje się obecnie po lewej stronie krzywej Laffera, co sugeruje, że wzrost podatków może nadal skutkować wzrostem dochodów rządu. Opinia ta stoi w kontraście do epoki Reagana, gdzie górna stawka podatkowa wynosiła zaledwie 35%, czyli kwotę, która przez większość XX wieku wydawałaby się absurdalnie niska.

StoryShot #5: Rozważania o triumfie w przeciętności

Powinniśmy zakwestionować nasze dążenie do tego, by mieć rację, a nawet być doskonałym, przez cały czas. Nie zawsze można zagwarantować doskonały wynik.

Wbrew pozorom, ten punkt widzenia nie jest samobójczy. Zamiast tego jest wglądem w to, jak możemy, a nawet powinniśmy, chwalić przeciętność. Normalność prowadzi do wielu teorii i pytań matematycznych, które omawia Ellenberg. Część matematyki rodzi się z prostej potrzeby rozwiązania problemu. Powstałe w ten sposób twierdzenia kształtują nasz świat przez dziesięciolecia.

A co to jest normalność? Czy ktokolwiek z nas doświadcza normalnego życia? Możesz nie być bogaty ani sławny, ale dlaczego te pojęcia miałyby czynić jedno życie bardziej lub mniej zwyczajnym niż inne? Matematyka jest tak samo normalna i centralna dla wszystkiego, jak samo życie.

We współczesnym świecie rzadko zachęca się do przeciętności, zwłaszcza w przypadku młodego pokolenia. Ale to, co można uznać za "normalne" życie, prawie zawsze zawiera element niezwykłości.

Nawet rzadkość samego życia oznacza, że ma ono jakąś wrodzoną wartość.

Takie podejście pomaga nam postrzegać przeciętność jako supermoc, która często może prowadzić do najbardziej niezwykłej kreatywności.

StoryShot #6: Opinia publiczna nie istnieje i nie ma znaczenia

Potęga matematyki może nas nauczyć, że opinia publiczna nie istnieje, a więc nie ma znaczenia. 

Aby zilustrować ten punkt, rozważmy fora, w których opinia publiczna wydaje się mieć największe znaczenie, na przykład wybory.

Statystyki wyborcze mogą w kontrowersyjny sposób pokazać ideę, że "nie ma odpowiedzi".

Każdy człowiek jest inny, więc każdy ma swoje własne zdanie. Dlatego opinia publiczna nie może istnieć. Pewnie, że wśród grup ludzi mogą istnieć opinie popularne, ale zawsze znajdą się tacy, którzy mają opinie negatywne.

Co więcej, analizując statystyki możemy popełniać błędy. Niezrozumienie społeczne może również wpłynąć na konkretne wyniki. To daje nam kolejny wgląd w to, że opinia publiczna nie powinna mieć znaczenia, ponieważ może wynikać z niedokładnych informacji.

Oczywiście wszyscy wiemy, że tak nie jest. Opinia publiczna prawdopodobnie zawsze będzie miała wpływ na politykę i inne dziedziny. 

StoryShot #7: Dobrze jest nie wiedzieć wszystkiego

To jest więcej niż w porządku; to jest niemożliwe. Ludzie nie wiedzą wszystkiego, co można wiedzieć o naszym świecie i innych. Wiedza o wszystkim jest celem, który nigdy nie może zostać osiągnięty.

I to jest w porządku. W końcu gdybyśmy urodzili się wiedząc wszystko, to czy życie nie byłoby niesamowicie nudne? Nie wiedzieć nic to potęga, bo daje nam szansę na zadawanie pytań. A pytania prowadzą do jednej z dwóch rzeczy: bezpośrednich i rozstrzygających odpowiedzi lub potrzeby poznania odpowiedzi poprzez eksperymenty.

To właśnie te ostatnie zaowocowały postępem człowieka w nauce, technice, a nawet sztuce. Bez pytań nie byłoby odpowiedzi. Odpowiedzi prowadzą do kolejnych pytań, a cykl nieuchronnie trwa. I jest to ważne dla ludzi jako gatunku, aby tak było. Wiedza o wszystkim oznaczałaby brak odkryć.

Zamiast polegać na opinii publicznej, pielęgnuj swój wewnętrzny głód wiedzy. Prawdziwi geniusze słuchają więcej niż mówią, a aktywne słuchanie jest konsekwentnym sposobem uczenia się. Na podstawie tej nowej wiedzy możesz formułować własne wnioski, wykorzystując moc matematyki, aby zapewnić, że wnioski te są oparte na logice. Dzięki temu będziesz miał większą szansę na częstsze posiadanie racji.

StoryShot #8: Wszystko można udowodnić na podstawie sprzeczności

Jeśli stwierdzisz, że jest październik, to możesz logicznie wywnioskować, że następny miesiąc to listopad. Nie możesz jednak racjonalnie sądzić, że następnym miesiącem będzie styczeń. Logika nakazuje, że jeśli obecnie jest październik, to musi nastąpić listopad, a twierdzenie czegokolwiek innego jest głupotą.

Za tą koncepcją kryje się oczywiście pewna doza matematyki, którą Ellenberg omawia dość szczegółowo. Ale wniosek jest taki, że bycie w błędzie ma wartość, ponieważ ma moc doprowadzenia nas do nowych wniosków.

Nauka i matematyka polegają na sprzecznościach w badaniach i udowadnianiu (lub obalaniu) nowych teorii. Sprzeczności, których doświadczamy na co dzień, mogą nas nauczyć cennych lekcji życia.

Bycie prawym oznacza stawienie czoła rzeczom, których nie znasz, aby lepiej je zrozumieć, co może być zniechęcające. Ale dzięki matematyce i sile sprzeczności, stawianie czoła tym niepewnościom może być uwalniające i pouczające.

Elementy matematyki, których nie rozumiemy, mogą wpędzić nas w kłopoty, zwłaszcza gdy dążymy do tego, by mieć cały czas rację. Studiowanie życia poprzez sprzeczności może pomóc nam rozwinąć inne sposoby myślenia, a także zwiększy nasze umiejętności krytycznej analizy. Wszystko dzięki prostej mocy matematyki.

StoryShot #9: Nauczysz się z porażki

Nauka prawie zawsze przychodzi z popełniania błędów. Kiedy się nad tym zastanowić, jest to prawda od pierwszej lekcji.

Mieć rację we wszystkim przez cały czas to przyjemny pomysł. Ale o wiele bardziej wartościowe jest życie, w którym od czasu do czasu ponosi się porażkę.

Gdybyś tylko zdawał egzaminy i nigdy się do nich nie uczył, nie miałbyś doświadczenia co do wartości nauki. Kiedy nadszedłby czas testu, do którego nie byłeś przygotowany, porażka nadeszłaby szybko, wybijając cię z tendencji wzrostowej z druzgocącym skutkiem.

Kiedy zaczynamy uczyć się matematyki, mamy gwarancję, że na początku poniesiemy porażkę. Mówi się, że talent rodzi się z kontynuowania zainteresowania i tak samo jest w przypadku matematyki. Ale kluczowym słowem jest tu "dążenie".

Szczerość Ellenberga w kwestii porażek jako matematyka uczy nas, że mądrzy ludzie często ponoszą porażki. Jednak dążą do sukcesu i wymyślają nowe, kreatywne sposoby rozwiązania początkowego problemu. Jest to oznaką ich inteligencji.

Jeśli przyjmiesz porażkę, będziesz odczuwał większą satysfakcję z sukcesu, niż gdybyś zdał każdy test w swoim życiu, czy to realny, czy metaforyczny.

StoryShot #10: Matematyka to po prostu zdrowy rozsądek

Ludzie czasami czują się onieśmieleni matematyką, ale to dlatego, że nie widzą, jak bardzo jest ona powszechna. Matematyka to w swej istocie nauka o przestrzeganiu reguł, które mają prowadzić do trafnych wniosków. Jeśli przestrzegasz tych zasad do litery, znajdziesz prawidłową odpowiedź.

Zasady matematyki są zdroworozsądkowe, więc każdy może się ich nauczyć. Trudność wydaje się wynikać z tego, że matematyka rzadko jest postrzegana obiektywnie. Powodem tego jest to, że zawsze, gdy używamy matematyki, jest to dla czegoś pilnego w naszym życiu, co wymaga natychmiastowej odpowiedzi.

Ale cofnij się o krok. To ma sens, że dwa plus dwa to cztery, prawda? Masz dwie sztuki czegoś. Gdy dołożysz jeszcze dwa, to na końcu zawsze będziesz miał taką samą liczbę przedmiotów. I te same zasady widać w niemal wszystkich dziedzinach matematyki.

Dlatego właśnie w tak młodym wieku uczymy się dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia; będziemy używać tych pojęć, gdy dorośniemy. Który pięciolatek nie chciałby obliczyć, ile lat minie, zanim skończy dziesięć lat? Kiedy zrozumiesz matematykę jako pojęcie zdroworozsądkowe, stanie się ona mniej przerażająca. Możesz wtedy wykorzystaj to w swoim życiu aby zawsze trzymać cię na właściwym torze.

Sprawa staje się bardziej skomplikowana, gdy mamy do czynienia z zaawansowaną fizyką i liczbami złożonymi, ponieważ mogą to być pojęcia trudne do uchwycenia. Jednak w codziennym życiu matematyka, której używasz, ma sens, nawet jeśli nie zawsze możesz to dostrzec.

Należy uważać na proporcje i liczby ujemne, ponieważ mogą one prowadzić do błędnych lub mylących informacji. Liczby ujemne nie reprezentują ilości tak jak liczby dodatnie, więc operacje takie jak procenty mogą prowadzić do błędnych lub mylących informacji. 

StoryShot #11: Nie używaj samego prawdopodobieństwa do oceny ryzyka

Często myślimy o ryzyku i prawdopodobieństwie jako zamiennie. Jednak są one bardziej różne niż można by się spodziewać. Używanie prawdopodobieństwa do obliczania wyniku jest pomocne, ale używanie go samodzielnie do oceny ryzyka jakiejś konkretnej decyzji jest niemądre.

Problem pojawia siĊ, poniewaĪ ryzyko nie polega jedynie na prawdopodobieĔstwie. Okoliczności fizyczne, szczęście losowe, a nawet rodzaj zaangażowanych ludzi przyczyniają się do wyniku.

Prawdopodobieństwo może być ważnym narzędziem dla różnych problemów, zarówno matematycznych, jak i w szerszym świecie. Ale używanie go do oceny ryzyka bez uwzględnienia innych czynników sprawia, że można się pomylić. I na niebezpieczeństwo.

Wykorzystaj prawdopodobieństwo wraz z innymi czynnikami występującymi w danej sytuacji, aby jak najdokładniej ocenić wynik.

StoryShot #12: Kwestionuj wszystko

Kwestionuj wszystko, nie tylko w dziedzinach matematyki, ale w życiu. Zadaj sobie dwa pytania:

  • Jakie założenia są przyjmowane?
  • Czy te założenia są uzasadnione?

Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku wniosków naukowych i opartych na statystyce. Wiele osób słysząc w wiadomościach jakąś statystykę, wierzy w nią bez zastanowienia. Ale eksperci popełniają błędy częściej niż chcielibyśmy myśleć, dlatego zadawanie trudnych pytań jest tak ważne.

Istotną kwestią są również błędy ludzkie. Faktem jest, że ludzie nawalają. Nie jest to jednak powód, aby traktować wszystkich tak, jakby popełniali błędy. Kiedy coś wydaje się nie tak, należy to zakwestionować. W ten sposób w końcu znajdziesz prawidłową odpowiedź.

Dane mogą być zmieniane i edytowane tak, aby odpowiadały osobie lub organizacji, która je wykorzystuje. Język może również okazać się zwodniczy, ponieważ słowa mogą sugerować jedną ideę, pomijając inną.

Kwestionuj wszystko, co wiesz i rób badania, aby wyciągnąć wnioski, które mają największy sens. Będziesz zdumiony tym, czego możesz się nauczyć po prostu pytając: "Czy to może być złe?". Dzięki temu możesz wyciągnąć wnioski, które prowadzą Cię na właściwą drogę częściej niż nie.

Być może nigdy nie będziesz mieć racji przez cały czas i prawie na pewno będziesz popełniać błędy. Ale bycie w błędzie ma swoją wartość. Matematyka może nas przybliżyć do prawdziwych odpowiedzi, których szukamy. 

StoryShot #13: Użyj logicznego rozumowania, aby dojść do ważnych wniosków

Zrozumienie matematyki to nie tylko zapamiętanie wzorów. Chodzi o używanie logiki i rozumowania, aby dojść do wniosków.

Ex falso quodlibet to łacińska fraza, która oznacza "z fałszu wynika wszystko". Odnosi się do idei, że jeśli zaczniesz od fałszywej przesłanki, możesz udowodnić wszystko. Jednakże jest to fałsz. Ważne jest, aby zacząć od prawdziwej przesłanki i użyć logicznego rozumowania, aby dojść do ważnego wniosku.

Theodore Roosevelt doceniał znaczenie krytycznego i logicznego myślenia. Powiedział kiedyś: "Kształcić osobę w umyśle, ale nie w moralności, to kształcić zagrożenie dla społeczeństwa". Ten cytat podkreśla znaczenie nie tylko znajomości matematyki, ale używania jej w odpowiedzialny i etyczny sposób.

Książka kończy się zachęcającym przesłaniem. Prawdziwie kochać matematykę to używać jej dla dobra, a także podchodzić do niej z duchem ciekawości i zaangażowaniem w rozum.

Końcowe podsumowanie i przegląd 

Jak się nie mylić bada, jak myślenie matematyczne wpływa na nasze życie. Jest idealny dla każdego, kto interesuje się matematyką, rozwiązywaniem problemów lub krytycznym myśleniem. Wykorzystując nieliniowe myślenie i zasady matematyki, możesz zwiększyć swoje szanse na to, że częściej będziesz mieć rację niż się mylić. Możesz to zrobić, upraszczając problemy, formułując wnioski oparte na logice i stosując podstawowe umiejętności matematyczne w codziennym życiu. 

Ellenberg przedstawia złożone pojęcia matematyczne w sposób łatwy do zrozumienia. Używa również szerokiego zakresu przykładów, aby zilustrować swoje punkty. Nie ma nic złego w tym, że nie wiesz wszystkiego. Pielęgnuj swój wewnętrzny głód wiedzy, słuchając więcej i mówiąc mniej.

Przeanalizujmy główne wnioski z Jak się nie mylić:

  • Matematyka jest we wszystkim, co robimy. Możemy stosować zasady matematyczne w codziennym życiu, dzięki czemu mylimy się znacznie rzadziej.
  • Nie powinniśmy się kierować "opinią publiczną", bo ona tak naprawdę nie istnieje.
  • Porażki są dla nas dobre, ponieważ wyciągamy z nich wnioski.
  • Możemy rozbić pozornie niemożliwe problemy i rozwiązać mniejsze części, stosując logikę i prawdopodobieństwo.

Czy chciałbyś się mylić rzadziej? Oznacz nas w mediach społecznościowych i powiedz nam, czy używałeś pojęć matematycznych, aby zwiększyć swoje szanse na rację!

Ocena

Oceniamy Jak się nie mylić 4/5.

Jak oceniasz książkę Jordana Ellenberga?

Kliknij, aby ocenić tę książkę!
[Razem: 9 Średnia: 3.3]

Nota redaktora

Niniejsze nieoficjalne streszczenie i analiza zostały opublikowane po raz pierwszy w dniu 13/06/22. Zostało zmienione i zaktualizowane 24.03.23.

Infografika

Pobierz wersję w wysokiej jakości w aplikacji StoryShots.

Jak nie być w błędzie Infografika Jordan Ellenberg cytaty rozdziały darmowy audiobook infografika analiza krytyka storyshots blinkist headway alternatywa
  • Zapisz

PDF, Za darmo Audiobook, i Animowane streszczenie książki 

To był wierzchołek góry lodowej. Aby zanurzyć się w szczegóły i wesprzeć Jordana Ellenberga, zamów go tutaj lub pobierz audiobook za darmo.

Czy podobało Ci się to, czego się tutaj nauczyłeś? Podziel się, aby pokazać, że Ci zależy i daj nam znać, kontaktując się z naszym wsparciem.

Jesteś nowy w StoryShots? Pobierz PDF, audiobook i animowane wersje tego streszczenia Jak się nie mylić i setki innych bestsellerowych książek z dziedziny literatury faktu w naszej darmowa aplikacja z najwyższej półki. Została wyróżniona przez Apple, The Guardian, ONZ i Google jako jedna z najlepszych na świecie aplikacji do czytania i nauki.

Streszczenia książek powiązanych

Jak się nie mylić Review PDF - Jordan Ellenberg
  • Zapisz

Podobne wpisy

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Witryna wykorzystuje Akismet, aby ograniczyć spam. Dowiedz się więcej jak przetwarzane są dane komentarzy.