数学的思考の力
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はじめに
を好きになりませんか？ つい 間違うあなただけではありませんし、驚くようなことではありません。仕事や人間関係、そして趣味の世界でも、私たちは幼い頃から「間違うことは間違いである」と学んでいます。常に正しい考え方をすることは、ほとんど不可能と思われる概念ですよね？間違っている（皮肉なことに！）。
間違えない方法 ジョーダン・エレンバーグ著）は、数学的に考えることで人生をよりシンプルにする方法について論じています。
本書は、数学の世界に飛び込み、日常生活におけるその応用を探求しています。単純な判断と複雑な判断を見ることで、エレンバーグは、私たちの思考によくある間違いにつながる誤った信念を明らかにします。
ジョーダン・エレンバーグについて
ジョーダン・エレンバーグは数学者であり、作家である。ウィスコンシン大学マディソン校の教授であり、数学とその様々な分野への応用に関するいくつかの本を執筆している。1998年にハーバード大学で数学の博士号を取得し、以下のような出版物に執筆している。 ニューヨーク・タイムズ, ワシントンポストそして ワイアード.
間違えない方法 は、数学的思考が日常の問題を理解し解決するのに役立つ方法を探る人気書籍です。
StoryShot #1：ノンリニアに考える
非線形思考とは、自分がコントロールできることとできないことを論理的に考えることです。
次の文章を考えてみてください："どこに行くべきかは、自分がどこにいるかによる。"この非線形的な考え方は、クリティカルシンキングのスキルを身につけ、間違いを回避する能力を高めるのに役立ちます。十字路で車に乗っている自分を想像してください。信号が青になったら、斜め前ではなく、真正面の道路を横切るように走ります。これは直線的な思考です。
非線形で考えることで、私たちは自由に選択し、人生を前進させることができます。また、より多くの質問を投げかけ、より多くの答えを導き出すことができます。そうすることで、たとえ自分ではどうしようもない変化であっても、人生の変化を認めることができるのです。
線形回帰は、2つ以上の変数の間に直線的な関係があるかどうかを調べる統計手法です。例えば、ある人の収入が$1万円増えるごとに、共和党に投票する確率が3%高くなるという統計がある。 線形回帰は、異なる要因が結果にどのように影響するかを理解し、新しいデータに基づいて予測を立てるのに役立ちます。
しかし、誤った結論に至らないように、線形回帰はすべてのデータセットに使えるわけではなく、使い方を誤ると誤解を招く結果を生むことを認識しておく必要があります。
StoryShot #2: 数学はすべての行動の一部であることを理解する。
先生が「毎日算数を使う」と言ったのは嘘ではありません。そして、あなたはおそらく、いつ、どのようなタイミングで、どのような方法で 使い道.通勤時間の長さや夜の外出の予算、そしてフレンチプレスコーヒーを飲むタイミングを計算するには、基本的な計算が必要です。
そう考えれば、常に正しくあることは可能です。少なくとも理論的には。数学とその決まったルールが、私たちが行うすべてのことの中心にあるのなら、数学のルールに従えば、常に正しい結果につながるはずです。つまり、このルールに一歩一歩従えば、間違うことを避けられるということです。この考え方は甘くなく、シンプルであることに安心感を与えてくれます。
問題は、人は冷厳な事実を見るよりも、推測や見積もりをする傾向があることです。これが間違いが起こる原因であり、人が時に間違える理由です。
問題を単純化すると、答えが見つかりやすくなる。人生における大きな問題を分解してみると、シンプルなバージョンの解決策が見つかり、大きな問題の解決策につながるかもしれません。
数学は、私たちが行うほとんどすべてのことの中核をなす強力なツールです。数学が私たちの生活の最前線にある以上、批判的推論のスキルを向上させることは不可欠です。
これは、間違っているよりも正しいことの方が多いというチャンスになります。簡単な数学の基本的な応用を通して、あなたはより正確な結論に到達することができます。そして、あなたが行うすべてのことにおいて、一貫して正しくある可能性を高めることができるのです。
StoryShot #3：数学は宝くじを当てるのに役立つ
期待値」とは、ある確率変数が多くの試行を経て持つ値の平均値である。例えば、長い目で見て、お金が勝つ確率と負ける確率を表しています。カジノでルーレットをする場合、期待値を計算することで、意思決定に役立てることができます。
宝くじに当たる確率と宝くじの期待値について考える。Ellenbergは、MITの学生が自分たちの町で宝くじを毎回「当てる」ことに成功した話を語り、大数の法則（LLN）を再検討する。学生たちは、パワーボールやメガミリオンズといった有名な宝くじゲームの分析を始めたが、すぐにキャッシュウィンフォールに興味を持つようになった。このゲームは、ジャックポットが当選者なしで$2万ドルに達すると、「ロールダウン」して、より少ない数字にマッチしたプレイヤーに分配されるように設計されていた。MITの学生たちは、コンピューターソフトウェアを使って過去のデータを分析し、ロールダウンが発生するタイミングを予測しました。そして、このゲームの設計上の欠陥を利用し、ロールダウンの際に数千枚のチケットを購入した。結局、彼らの企みは露見し、ゲームは中断された。
リスクは定量化できるが、不確実性は定量化できない。例えば、骨壷に90個の玉が入っていて、そのうち30個が赤、残りが黄色と黒だとすると、赤玉を引き出せないリスクは2/3です。しかし、黒い玉が出る確率を定量化することは不可能です。
StoryShot #4：数学はより良い決断をするために役立つ
本書で探求された重要な概念のひとつに「効用」があります。これは、ある行動や意思決定から得られる満足度や幸福度を表す指標です。
ユーティリティをユーティリティと呼ばれる標準的な単位で測定することを考えたことがあるだろうか。例えば、家にいる時間の1時間を1utilとした場合を考えてみましょう。この場合、フライトの2時間前に到着すれば2ユーティリティ、1時間前に到着すれば1ユーティリティで済みます。このように、飛行機に乗り遅れることは、単に1時間を無駄にすることよりもはるかに悪いことであることがわかります。このように、時間を "utils "で評価することで、自分の決断にかかる本当のコストを知ることができるのです。
期待効用とは、ある行動や意思決定を何度も繰り返した場合に得られる平均的な効用を示す尺度である。効用と期待値は、いずれも不確実性がある場合の選択肢を評価する方法である。
エレンバーグは、ラッファー曲線を例に、数学的思考がいかに複雑な問題に対する間違いを回避するのに役立つかを説明している。彼は、現実世界の問題をより厳密に、よりニュアンス豊かに検証するために数学を使う必要があると主張している。
ラッファー曲線は、税率と政府歳入の関係をグラフで表したものです。約40年にわたり、共和党の経済理論において重要な役割を担ってきた。ラッファー曲線は、増税が必ずしも政府歳入の増加につながらないという考えを表しています。この曲線は、税率がゼロに近い場合、増税すると政府歳入が増加するが、税率が100%に近い場合、増税すると歳入が減少することを示唆している。
現在、経済学者の多くは、課税水準はラッファー曲線の左側に位置し、増税しても政府歳入が増加することを示唆していると考えている。レーガンの時代には、最高税率が35%と、20世紀の大半の時代には考えられないような低税率であったのとは対照的である。
StoryShot #5：Mediocrity の中のTriumphを考える
私たちは、常に正しくありたい、完璧でありたいという欲求を疑ってみるべきです。完璧な結果が常に保証されるわけではありません。
見た目とは裏腹に、この視点は自虐的なものではありません。むしろ、私たちがいかにして平凡を賞賛できるか、また賞賛すべきかを知るための洞察なのです。平凡さは、エレンバーグが論じる理論や数学の問題の多くにつながる。ある数学は、問題を解くという単純な必要性から生まれたものです。その結果生まれた定理は、何十年にもわたって私たちの世界を形作ってきました。
そして、普通とは何なのか。私たちの中に、普通の生活を送っている人はいるのでしょうか。あなたはお金持ちでも有名人でもないかもしれませんが、なぜこれらの概念によって、ある人生が他の人生よりも普通であったりそうでなかったりするのでしょうか？数学は、人生そのものと同じくらい普通であり、すべての中心的存在なのです。
現代社会では、特に若い世代にとって、平凡が奨励されることはほとんどありません。しかし、「普通」と思われる生活には、必ずと言っていいほど「非日常」の要素が含まれています。
生命そのものの希少性という意味でも いでんしかち.
このアプローチは、凡庸さを、しばしば最も並外れた創造性をもたらすことができる超能力とみなすことを助けます。
StoryShot #6: 世論なんて存在しないし、関係ない。
数学の力は、世論が存在しないこと、つまり、どうでもいいことを教えてくれるのです。
そこで、世論が最も重要と思われる場、例えば選挙について考えてみましょう。
選挙統計は、「答えがない」という考えを論証的に示すことができます。
みんな違うのだから、みんな自分の意見を持っている。だから、世論というものは存在し得ない。確かに、集団の中で人気のある意見はあるかもしれないが、反対意見を持つ人は必ずいる。
さらに、統計を分析する際に間違いを犯すこともあります。世間の誤解が特定の結果に影響を与えることもあります。このことは、不正確な情報に起因する世論がいかに重要であってはならないか、さらなる洞察を与えてくれる。
もちろん、それが世の中の流れではないことは、誰もが知っている。世論は常に政治などに影響を与えそうです。
StoryShot #7: 全てを知らなくてもいいんだよ
大丈夫というより、不可能です。人間は、私たちの世界や他人について知るべきことをすべて知っているわけではありません。すべてを知るということは、決して達成できない目標です。
そして、それでいいのです。結局のところ、もし私たちが生まれながらにしてすべてを知っていたとしたら、人生は驚くほど退屈なものになるのではないでしょうか。何も知らないということは、質問する機会を与えてくれるからです。なぜなら、私たちに質問をする機会を与えてくれるからです。質問は、直接的で決定的な答えか、実験によって答えを見つける必要性のどちらかにつながります。
科学や技術、そして芸術において、人類の進歩をもたらしたのは後者である。問いがなければ、答えもない。そして、その答えがさらなる問いを生み、そのサイクルは必然的に続いていく。そして、それは人間という種にとって重要なことなのです。すべてを知ることは、発見を意味しない。
世論に頼るのではなく、自分の中にある知識への飢えを育みましょう。真の天才は、話すよりも聞く方が多く、積極的に聞くことは、一貫した学習方法です。そして、その新しい知識をもとに、自分なりの結論を導き出し、その結論が論理的であることを数学の力で確認する。そうすることで、より頻繁に正しいことを言える可能性が高まります。
StoryShot #8：Anything Can Be Proven from a Contradiction（矛盾から何でも証明できる
今が10月だとすると、来月は11月だと論理的に結論づけることができます。しかし、来月が1月であることを合理的に信じることはできません。論理的には、現在が10月なら11月が続くはずであり、それ以外のことを主張するのは愚かなことである。
もちろん、このコンセプトの背景には、ある程度の計算があり、エレンバーグはそれを詳しく説明しています。しかし、ここから得られるのは、間違っているということは、新しい結論に導く力があるため、価値があるということです。
科学や数学は、新しい理論を研究し、証明（または反証）するために、矛盾を頼りにしています。私たちが日々経験する矛盾は、私たちに貴重な人生の教訓を与えてくれます。
正しいということは、よりよく理解するために知らないことに向き合うことであり、それは困難なことかもしれません。しかし、数学と矛盾の力によって、これらの不確実性に直面することは、自由で有益なものになります。
特に、常に正しいことを追求する場合、理解できない数学の要素は、私たちを窮地に陥れることがあります。矛盾を通して人生を学ぶことは、他の考え方を身につけるのに役立ち、批判的な分析能力を高めることにもなります。全ては数学のシンプルな力です。
StoryShot #9: 失敗から学ぶ。
学びは、ほとんどの場合、失敗することから生まれます。考えてみれば、これは最初のレッスンからずっとそうだったのです。
常に正しいことをするのは楽しいことです。しかし、たまに失敗するほうが、はるかに価値ある人生になるのです。
もし、あなたが試験に合格しただけで勉強したことがなかったら、勉強の大切さを知ることはできないでしょう。そして、いざ試験に臨むと、すぐに失敗してしまい、上昇気流から外れてしまう。
数学を学び始めると、最初は必ず失敗する。才能は興味を持ったことを追求することで生まれると言いますが、数学も同じです。しかし、ここでのキーワードは "追求 "です。
エレンバーグの数学者としての失敗談は、賢い人はよく失敗することを教えてくれる。しかし、彼らは成功に向かって突き進み、最初の問題を解決するための新しい創造的な方法を思いつく。これこそが、彼らの知性の証なのです。
失敗を受け入れれば、現実であれ比喩であれ、人生のすべてのテストに合格した場合よりも、成功から満足感を得ることができます。
StoryShot #10: 数学は常識である。
人は時に数学を怖いと感じることがありますが、それは数学がいかに一般的なものであるかを知ることができないからです。数学とは、その根底にあるのは、正確な結論を導くためのルールに従う学問である。このルールに忠実に従えば、正しい答えが見つかるのです。
数学のルールは常識的なものなので、誰でも身につけることができます。難しいのは、数学を客観的に見ることが少ないからだと思われます。というのも、私たちが数学を使うのは、何かすぐに答えが必要な緊急事態のためです。
でも、一歩引いてみてください。2＋2が4であることは理にかなっていますよね？あなたは何かを2つ持っています。さらに2つ手に入れたら、最終的には必ず同じ数のアイテムが手に入ります。そして、同じようなルールは、数学のほぼすべての分野で見られます。
足し算、引き算、掛け算、割り算を幼少期に学ぶのは、これらの概念を成長するにつれて使うためです。10歳まで何年かかるか計算したくない5歳児はいないでしょう。算数を常識的な概念として理解すれば、敷居が低くなります。そうすれば 生活に取り入れる を使えば、常に正しい道を歩むことができます。
高度な物理学や複素数を扱う場合は、より複雑な概念になります。しかし、日常生活では、たとえ目に見えなくても、自分が使っている数学は理にかなっているのです。
割合や負の数を扱うと、不正確な情報や誤解を招くことがあるので注意すること。負の数は正の数のように量を表さないので、割合などの演算は不正確な情報や誤解を招く恐れがある。
StoryShot #11: 確率だけでリスクを評価してはいけない。
私たちはしばしば、リスクと確率を交換可能なものとして考えます。しかし、この2つは予想以上に異なるものです。確率を利用して結果を計算することは有用ですが、それだけで特定の決断のリスクを評価するのは愚かなことです。
この問題は、リスクが確率だけに依存するものではないことに起因しています。物理的な状況、ランダムな運、そして関係する人々の種類も、すべて結果に寄与するのです。
確率は、数学的にも、広く社会的にも、さまざまな問題に対応できる重要なツールです。しかし、他の要素を考慮せずにリスクを評価するために使用すると、物事を誤る可能性があります。そして、危険にさらされることになります。
確率と、特定の状況に関連する他の要素を用いて、可能な限り正確に結果を評価する。
StoryShot #12：すべてを疑ってみる
数学の分野だけでなく、人生において、すべてを疑ってみる。2つの質問を自分に投げかけてみてください：
- どんな想定をしているのか？
- これらの前提は正当化されるのでしょうか？
特に、科学的・統計的根拠に基づく結論はそうです。多くの人はニュースで統計を聞いて、何の疑問も持たずにそれを信じてしまいます。しかし、専門家は私たちが思っている以上に頻繁に間違いを犯すものです。だからこそ、難しい質問をすることが大切なのです。
また、ヒューマンエラーも大きな問題です。人が失敗するのは事実です。しかし、だからといって、すべての人が失敗するような扱いをする理由はありません。何かおかしいと思ったら、それを疑ってみてください。そうすれば、やがて正しい答えが見つかるはずです。
データは、それを使う人や組織の都合で変更・編集されることがあります。また、言葉によって、ある考えを仄めかし、別の考えをないがしろにすることもあります。
知っていることをすべて疑い、最も理にかなった結論を導き出すために研究する。"これは間違っているのでは？"という疑問を持つだけで、驚くほど多くのことを学べます。そうすることで、より多くの場合、正しい道へと導く結論を導き出すことができるのです。
常に正しいということはないかもしれませんし、間違いも必ずあります。しかし、間違うことにこそ価値がある。数学は、私たちが求めている本当の答えに少しでも近づくことができるのです。
StoryShot #13: 論理的な推論で妥当な結論を導き出す
数学を理解することは、単に公式を暗記することではありません。論理と推論を駆使して結論を導き出すことなのです。
Ex falso quodlibet とは、"虚偽から、何でも続く "という意味のラテン語の言葉です。虚偽の前提から始めれば、何でも証明できる、という考え方を指します。しかし、これは誤謬である。真の前提から出発し、論理的な推論を行い、妥当な結論を導き出すことが重要である。
セオドア・ルーズベルトは、批判的、論理的に考えることの重要性を説いています。彼はかつて、「精神は教育しても道徳は教育しないのは、社会にとって脅威となる人間を教育することである」と言いました。この言葉は、単に数学を知るだけでなく、責任ある倫理的な方法で数学を使用することの重要性を強調しています。
本書は、励ましのメッセージで締めくくられています。数学を真に愛するとは、数学を善用することであり、好奇心の精神と理性へのコミットメントをもって取り組むことである。
最終的なまとめとレビュー
間違えない方法 は、数学的思考が私たちの生活にどのような影響を与えるかを考察しています。数学、問題解決、批判的思考に興味がある人に最適です。非線形思考と数学のルールを使うことで、間違っているよりも正しいことの方が多いという確率を高めることができます。問題をより単純化し、論理に基づいて結論を出し、基本的な数学のスキルを日常生活に応用することで、このようなことが可能になります。
エレンバーグは、複雑な数学的概念をわかりやすく表現しています。また、さまざまな例を用いてポイントを説明しています。すべてを知らなくてもいいのです。聞くことを増やし、話すことを減らすことで、知識への渇望を育んでください。
の主なポイントをおさらいしておきましょう。 間違えない方法:
- 数学は、私たちの行動全てにあります。数学の原理を日常生活に応用することで、間違うことが格段に少なくなるのです。
- 世論」というものは実際には存在しないので、それに振り回されてはいけないのです。
- 失敗はそこから学ぶので、良いことだと思います。
- 一見不可能に見える問題を分解し、論理と確率を応用して小さな部分を解決することができる。
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評価
私たちの評価 間違えない方法 4/5.
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エディターズノート
この非公式な要約と分析は、13/06/22に初めて公開されました。23年3月24日に改訂・更新されました。
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